Question

平面内与两定点A₁(-a，0)、A₂(a，0)(a＞0)连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线，
(1)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
(2)当m=-1时，对应的曲线为C₁：对给定的m∈(-1，0)∪(0，+∞)，对应的曲线为C₂．设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²。若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1)设动点为M，其坐标为(x，y)，
当x≠±a时，由条件可得，
即mx²-y²=ma²(x≠±a)，
又A₁(-a，0)、A₂(a，0)的坐标满足mx²-y²=ma²，
故依题意，曲线C的方程为mx²-y²=ma²，
当m＜-1时，曲线C的方程为，C是焦点在y轴上的椭圆；
当m=-1时，曲线C的方程为x²+y²=a²，C是圆心在原点的圆；
当-1＜m＜0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的椭圆；
当m＞0时，曲线C的方程为，C是焦点在x轴上的双曲线．
(2)由(1)知，当m=-1时，C₁的方程为x²+y²=a²；
当m∈(-1，0)∪(0，+∞)时，C₂的两个焦点分别为，
对于给定的m∈(-1，0)∪(0，+∞)，C₁上存在点N(x₀，y₀)(y₀≠0)使得S=|m|a²的充要条件是
，
由①得0＜|y₀|≤a，由②得，
当，即，或时，存在点N，使S=|m|a²；
当，即，或时，不存在满足条件的点N；
当时，
由，-y₀)，
可得，
令，
则由，
可得，
从而，
于是由S=|m|a²，可得，即，
综上可得：当时，在C₁上，存在点N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF₂=2；
当时，在C₁上，存在点N，使得S=|m|·a²，且tanF₁NF₂=-2；
当时，在C₁上，不存在满足条件的点N．