Question

已知函数f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a（x∈R）．
（1）若f（x）有最大值2，求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（1）先利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理，根据正弦函数的性质求得函数的最大值的表达式，进而根据最大值为2求得a的值．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ求得x的范围，进而确定函数的单调递增区间．

解答：解：（1）f(x)=2cos2x+

3

sin2x+a=1+cos2x+

3

sin2x+a=2sin(2x+

π

6

)+1+a，
当2x+

π

6

=

π

2

+2kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值，
即x=

π

6

+kπ（k∈Z）时，f（x）有最大值为3+a，
∴3+a=2，解得a=-1．
（2）令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，解得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

（k∈Z），
∴函数f（x）的单调递增区间[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）

点评：本题主要考查了二倍角公式的应用，以及正弦函数的基本性质．解题的关键是利用二倍角公式和两角和公式对函数解析式化简整理．