Question

如图，某海滨城市位于海岸A处，在城市A的南偏西20°方向有一个海面观测站B，现测得与B处相距31海里的C处，有一艘豪华游轮正沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向城市A直线航行，30分钟后到达D处，此时测得B、D间的距离为21海里．
（1）求sin∠BDC的值；
（2）试问这艘游轮再向前航行多少分钟即可到达城市A？

Answer 1

分析：（1）由已知可得 CD=20，△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC 的值，再利用同角三角函数的基本关系求得sin∠BDC 的值．
（2）由已知可得∠BAD=60°，由此可得sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）的值，再由正弦定理求得 AD的值，由此求得这艘游轮到达A的时间．

解答：解：（1）由已知可得 CD=40×

1

2

=20，△BDC中，根据余弦定理求得 cos∠BDC=

212+ 202-31 2

2×21×20

=-

1

7

，
∴sin∠BDC=

1-(- 1 7 )2

=

4 3

7

．
（2）由已知可得∠BAD=20°+40°=60°，∴sin∠ABD=sin（∠BDC-60°）=

4 3

7

×

1

2

-（-

1

7

）×

3

2

=

5 3

14

．
△ABD中，由正弦定理可得

AD

sin∠ABD

 = 

BD

sin∠BAD

．
又BD=21，∴AD=

BD×sin∠ABD

sin∠BAD

=15，
∴t=

15

40

×60=22.5分钟．
即 这艘游轮再向前航行22.5分钟即可到达城市A．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系的应用，两角和差的正弦公式公式的应用，属于中档题．