Question

设函数y=4x³+ax²+bx+5在x=与x=-1时有极值.

(1)写出函数的解析式；

(2)指出函数的单调区间；

(3)求f(x)在［-1,2］上的最值.

Answer 1

思路分析：函数y=4x³+ax²+bx+5在x=与x=-1时有极值.说明x=与x=-1是导函数对应方程的两根，利用韦达定理即可求出a,b的值，即求出解析式，然后根据求单调区间和最值的一半步骤即可求出.

解：(1)y′=12x²+2ax+b.

由题设x=与x=-1时函数有极值,

则x=与x=-1满足f′(x)=0,

即12·()²+2a·+b=0且12(-1)²+2a(-1)+b=0.

解得a=-3,b=-18.

∴y=4x³-3x²-18x+5.

(2)y′=12x²-6x-18=6(x+1)(2x-3),列表如下：

x	(-∞,-1)	-1	(-1,)		(,+∞)
y′	+	0	-	0	+
Y	?↗	y极大值=16	↘	y极小值=	↘

由上表可知(-∞,-1)和(,+∞)上均为函数的单调递增区间.(-1,)为函数的单调递减区间.

(3)极值点-1,均属于［-1,2］.

又∵f(-1)=16,f(2)=-11＞.

故f(x)在［-1,2］上的最小值是,最大值为16.