Question

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且点（$\sqrt{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）在C上．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）直线l经过点P（1，0），且与椭圆C有两个交点A，B，是否存在直线l₀：x=x₀（其中x₀＞2），使得A，B到l₀的距离d_A，d_B满足：$\frac{{d}_{A}}{{d}_{B}}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立？若存在，求x₀的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用离心率公式和点满足椭圆方程，结合a，b，c的关系，解方程可得椭圆方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），代入椭圆方程，运用韦达定理，假设存在这样的直线l₀，运用点到直线的距离公式和两点的距离公式，可得$\frac{{x}_{0}-{x}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-1}{1-{x}_{2}}$，化简整理代入，即可判断．

解答 解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²-b²=c²，
又$\frac{2}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，解得a=2，b=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-1），
代入椭圆方程可得，（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁＞x₂），
即有x₁+x₂=$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4{k}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，
存在直线l₀：x=x₀（其中x₀＞2），
使得A，B到l₀的距离d_A，d_B满足：$\frac{{d}_{A}}{{d}_{B}}$=$\frac{|PA|}{|PB|}$恒成立，
即有$\frac{{x}_{0}-{x}_{1}}{{x}_{0}-{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}-1}{1-{x}_{2}}$，即为2x₁x₂+2x₀-（1+x₀）（x₁+x₂）=0，
即有$\frac{8{k}^{2}-8}{1+4{k}^{2}}$+2x₀-（1+x₀）•$\frac{8{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$=0，
即为8k²-8+2x₀（1+4k²）-8k²（1+x₀）=0，
即有2x₀=8，解得x₀=4＞2．
故存在这样的直线l：x=4．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和点满足椭圆方程，考查存在性问题的解法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和距离公式，属于中档题．