Question

已知集合A={x∈R|x²-（a+4）x+4）=0}，函数y=3^x的值域为B，若A∩B=∅，求a的取值范围．

Answer 1

分析：利用指数函数的单调性可求得函数y=3^x的值域B，依题意知，方程x²-（a+4）x+4）=0无正实数解，通过对△＜0、△=0及△＞0的讨论，即可求得a的取值范围．

解答：解：∵集合B是y=3^x的值域，
∴B=（0，+∞），
又A∩B=∅，
∴方程x²-（a+4）x+4）=0无正实数解．
又△=（a+4）²-16=a（a+8），
①当△＜0，即-8＜a＜0时，A=∅，显然有A∩B=∅，
②当△=0，a=0或a=-8；
a=0时方程的解x=2不满足；a=-8时方程的解x=-2满足；
③当△＞0时，a＜-8或a＞0，此时方程的解x=

a+4± a2+8a

2

，
当a＞0是，显然

a+4± a2+8a

2

均是正数，不满足题意；
当a＜-8时，a+4＜-4，

a2+8a

＜

a2+8a+16

=|a+4|，
∴较大的根x=

a+4+ a2+8a

2

＜

a+4+|a+4|

2

=

a+4-a-4

2

=0，
∴a＜-8时，A∩B=∅．
综上：a∈（-∞，0）．

点评：本题考查函数的零点，考查指数函数的性质，着重考查二次方程根的讨论，属于中档题．