Question

（本小题满分12分）

如图，在直四棱柱中，底面是梯形，且，，，是棱的中点．

（1）求证：；

（2）求点到平面的距离；

（3）求二面角的大小．

Answer 1

（2）    （3）

解析:

证明：连接，是正方形，∴，又，

∴平面，∴，又，∴平面，

∴

（2）解：在平面中，过点作，垂足为，连接，又过点作，垂足为，则为点到平面的距离，在中，有，∴，

在中，，点到平面的距离为．

解法2：用等体积法，设点到平面的距离为，在中，为直角三角形，由得，∴ ，∴点到平面的距离为．

（3）解：取线段的中点，连接，则，，∴，再取线段的中点，连接，∴，∴，∴是二面角的平面角，在中， ，，取线段的中点，连接，则，在中，，∴，由余弦定理知，

∴二面角的大小为．

空间向量解法：

（1）证明：用基向量法． 设，，，，，，，，

∴，∴，∴，，∴，∴，即，  ∴

（2）解：构建空间直角坐标系，运用向量的坐标运算．

以为原点，，，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角系．则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，∵， ∴

，

∴，令，则，，得．

，求点到平面的距离

（3）解：设平面的一个法向量为．

 ∵， ∴，，令，则，，得．又设平面的一个法向量为∵，

∴∴，令，则，，得．

，∴二面角的大小为．

或者，的中点的坐标为，，， ，∴，

∴二面角的大小为．