Question

【题目】如图所示，四棱锥，侧面是边长为2的正三角形，且平面平面，底面是菱形，且， 为棱上的动点，且.

（1）求证： ；

（2）试确定的值，使得二面角的余弦值为.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2) 当时，二面角的余弦值为

【解析】试题分析： 取的中点，连结， ， ，证得平面因为，所以.以为原点，建立空间直角坐标系，求平面的一个法向量为，又平面的一个法向量为，求出的值

解析：（1）取的中点，连结， ， ，由题意可得， 均为正三角形，

所以， ，

又，

所以平面，

又平面，

所以.

因为，

所以.

（2）由（1）可知，

又平面平面，平面平面， 平面，

所以平面.

故可得， ， 两两垂直，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以，

由 ，可得点的坐标为，

所以， ，

设平面的一个法向量为，

由，可得，

令，则，

又平面的一个法向量为，

由题意得， ，

解得或（舍去），

所以当时，二面角的余弦值为.