Question

已知函数f(x)=2x+

2

2x

-1，x∈[0，+∞）
（1）证明：函数在[0，

1

2

]上为单调减函数，在[

1

2

，+∞)上为单调增函数；
（2） 若x∈[0，a]，求f（x）的最大最小值．

Answer 1

分析：（1）设x₁＞x₂≥0，表示出f（x₁）-f（x₂），化简后，分两种情况考虑：当

1

2

≥x1＞x2≥0时，经过判断f（x₁）-f（x₂）的符号为负，即得到f（x₁）＜f（x₂），所以函数在此区间为减函数；当x1＞x2≥

1

2

时，同理判断出f（x₁）-f（x₂）的符号为正，即得到f（x₁）＞f（x₂），所以函数在此区间为增函数，得证；
（2）分三种情况考虑：当a大于0小于等于

1

2

时，当a大于

1

2

小于等于1时及a大于1时，分别根据（1）证出的函数的单调区间，即可得到相应函数的最大和最小值．

解答：解：（1）设x₁＞x₂≥0，则f(x1)-f(x2)=2x1+

2

2x1

-2x2-

2

2x2

=(2x1-2x2)

2x1+x2-2

2x1+x2

．
当

1

2

≥x1＞x2≥0时，x1+x2＜1，2x1+x2＜2，
2x1-2x2＞0，2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），所以函数f（x）在[0，

1

2

]上为单调减函数；
当x1＞x2≥

1

2

时，x1+x2＞1，2x1+x2＞2，
2x1-2x2＞0，2x1+x2＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），所以函数f（x）在[

1

2

，+∞)上为单调增函数．得证；
（2）解：①当0＜a≤

1

2

时，由（1）知函数f（x）在[0，a]上单调递减，
所以f（x）_max=f（0）=2，f（x）_min=f（a）=2^a+2^1-a-1；
②当

1

2

＜a≤1时，由（1）知函数f（x）在[0，

1

2

]上单调递减，
在[

1

2

，a]上单调递增，且f（0）=f（1），
所以f(x)max=f(0)=2，f(x)min=f(

1

2

)=2

2

-1；
③当a＞1时，由（1）知函数f（x）在[0，

1

2

]上单调递减，
在[

1

2

，a]上单调递增，且f（0）=f（1），
所以f(x)max=f(a)=2a+21-a-1，f(x)min=f(

1

2

)=2

2

-1．

点评：此题考查学生会利用做差法判断两个式子的大小，掌握函数单调的性质，会利用导数求闭区间上函数的最值，是一道综合题．