Question

在△ABC中，cosB=

2

2

，sin（

π

2

-C）=

1

2

．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）若AB=2

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据同角三角函数间的基本关系由cosB求出sinB，利用诱导公式先把sin（

π

2

-C）变为cosC，然后利用同角三角函数间的基本关系求出sinC，把A变为π-（B+C），所以sinA=sin[π-（B+C）]，利用两角和的正弦函数公式化简后代入即可求出值；
（Ⅱ）根据正弦定理求出AC的长度，然后利用三角形的面积公式求出即可．

解答：解：（Ⅰ）在△ABC中，因为cosB=

2

2

，求得sinB=

2

2

，由sin（

π

2

-C）=cosC=

1

2

，求得sinC=

3

2

．
所以sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC
=

2

2

×

1

2

+

2

2

×

3

2

=

2 + 6

4

．
（Ⅱ）根据正弦定理得：

AB

sinC

=

AC

sinB

，
所以AC= 

AB

sinC

•sinB=

2 3

3 2

×

2

2

=

2	2

．
所以S△ABC=

1

2

AB•ACsinA=

1

2

×

2	3

× 

2	2

×

2 + 6

4

=3+

3

．

点评：本题主要考查三角函数的基本公式，考查运算能力．做题时应注意三角形内角和定理的运用．