Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+mx2-3m2x+1，m∈R．
（1）当m=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（2）若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=1时，f(x)=

1

3

x3+x2-3x+1，
又f'（x）=x²+2x-3，所以f'（2）=5．
又f(2)=

5

3

，
所以所求切线方程为 y-

5

3

=5(x-2)，即15x-3y-25=0．
所以曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为15x-3y-25=0．…（6分）
（2）因为f'（x）=x²+2mx-3m²，
令f'（x）=0，得x=-3m或x=m．…（8分）
当m=0时，f'（x）=x²≥0恒成立，不符合题意．…（9分）
当m＞0时，f（x）的单调递减区间是（-3m，m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
则

-3m≤-2 m≥3.

解得m≥3．…（11分）
当m＜0时，f（x）的单调递减区间是（m，-3m），若f（x）在区间（-2，3）上是减函数，
则

m≤-2 -3m≥3.

，解得m≤-2．
综上所述，实数m的取值范围是m≥3或m≤-2．…（13分）