Question

已知函数f（x）=（ax-1）e^x，a∈R
（1）当a=1时，求函数f（x）的极值．
（2）若函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）把a=1代入，对函数求导，分解结不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，研究函数f（x），f′（x）的变化情况，进而研究函数的单调区间，由单调性求解函数的最值
（2）函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数?f′（x）≥0在区间（0，1）上恒成立，分类a，转化为求函数的最值．
（法一）构造函数g（x）=ax+a-1，借助于一次函数的性质讨论．
（法二）转化a≥

1

x+1

恒成立，进而求

1

x+1

在（0，1）上的最值（或值域）

解答：解：（I）因为f'（x）=（ax+a-1）e^x，
所以当a=1时，f'（x）=xe^x，
令f'（x）=0，则x=0，
所以f（x），f'（x）的变化情况如下表：


所以x=0时，f（x）取得极小值f（0）=-1．
（II）因为f'（x）=（ax+a-1）e^x，函数f（x）在区间（0，1）上是单调增函数，
所以f'（x）≥0对x∈（0，1）恒成立．
又e^x＞0，所以只要ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
解法一：设g（x）=ax+a-1，则要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
只要

g(0)≥0 g(1)≥0

成立，
即

a-1≥0 2a-1≥0

，解得a≥1．
解法二：要使ax+a-1≥0对x∈（0，1）恒成立，
因为x＞0，所以a≥

1

x+1

对x∈（0，1）恒成立，
因为函数g(x)=

1

x+1

在（0，1）上单调递减，
所以只要a≥g(0)=

1

0+1

=1．

点评：本题考查了利用导数求函数的极值，属于基本知识的简单运用，而函数的在区间上的恒成立问题常转化为求函数的最值，常用分离参数法．