Question

已知椭圆：+=1（a＞b＞0）的长轴长为4，且过点（，）．
（I）求椭圆的方程；
（II）设A，B，M是椭圆上的三点．若=+，点N为线段AB的中点，C（-，0），D（，0），求证：|NC|+|ND|=2．

Answer 1

【答案】分析：（I）利用椭圆长轴长为4，且过点（，），求出几何量，即可求椭圆的方程；
（II）证明线段AB的中点N在椭圆上，利用椭圆的定义，即可得到结论．
解答：（Ⅰ）解：由题意：2a=4，所以a=2，
∵橢圆：+=1过点（，），
∴
∴b²=1
∴所求椭圆方程为；
（II）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则，
∵=+，
∴M（，）
∴
∴
∵点N为线段AB的中点
∴N（，）
∴=
∴线段AB的中点N在椭圆上
∵椭圆的两焦点为C（-，0），D（，0），
∴|NC|+|ND|=2．
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆定义的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．