Question

求证:n(n≥4)棱柱中过侧棱的对角面的个数是f(n)=n(n-3).

Answer 1

证明：(1)当n=4时,四棱柱有2个对角面,结论?成立.??

(2)假设n=k(k∈N^*,k≥4)时命题成立,?

即符合条件的棱柱的对角面有f(k)=k(k-3)个.现在考虑n=k+1的情形.?

第k+1条棱A_k+1B_k+1与其余和它不相邻的k-2条棱分别增加了1对角面共k-2个.而面A₁B₁B_kA_k变成了对角面.因此对角面的个数变为f(k)+(k-2)+1=k(k-3)+k-1=(k²-3k+2k-2)= (k-2)(k+1)=(k+1)［(k+1)-3)］,即f(k+1)=(k+1)［(k+1)-3］成立.

∴对任意n≥4时,结论成立.

温馨提示

证明几何问题必须要有数学模型,要用到一些几何性质,还需具备良好的思维能力.