Question

设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=1对称?对任意x₁，x₂∈[0，

1

2

]，都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），且f（1）=a＞0．
（Ⅰ）求f(

1

2

)，f(

1

4

)；
（Ⅱ）证明f（x）是周期函数；
（Ⅲ）记a_n=f（2n+

1

2n

），求

lim

n→∞

(lnan)．

Answer 1

分析：（1）通过对x₁、x₂合理的赋值以及配凑，构造所求的结论．
（2）偶函数?f（-x）=f（x）；关于直线x=a对称?f（2a-x）=f（x）．

解答：（Ⅰ）解：因为对x₁，x₂∈[0，

1

2

]，
都有f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂），所以
f(x)=f(

x

2

+

x

2

)=f(

x

2

)•f(

x

2

)≥0，x∈[0，1]
∵f(1)=f(

1

2

+

1

2

)=f(

1

2

)•f(

1

2

)=[f(

1

2

)]2
f(

1

2

)=f(

1

4

+

1

4

)=f(

1

4

)•f(

1

4

)=[f(

1

4

)]2
f（1）=a＞0，（3分）
∴f(

1

2

)=a

1

2

，f(

1

4

)=a

1

4

，（6分）

（Ⅱ）证明：依题设y=f（x）关于直线x=1对称，
故f（x）=f（1+1-x），即f（x）=f（2-x），x∈R
又由f（x）是偶函数知f（-x）=f（x），x∈R，
∴f（x）=f（x-2），x∈R，
得f（x）=f（x+2），x∈R
这表明f（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期．（10分）

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知f（x）≥0，x∈[0，1]
∵f（

1

2

）=f（n×

1

2n

）=f（

1

2n

+

1

2n

+…+

1

2n

）=f（

1

2n

）ⁿ
∴f(

1

2n

)=a

1

2n

，（12分）
∵f（x）的一个周期是2
∴f（2n+

1

2n

）=f（

1

2n

），因此a_n=a

1

2n

∴

lim

n→∞

（lna_n）=

lim

n→∞

(

1

2n

lna)=0．（14分）

点评：本题考查了抽象函数和函数性质的综合应用．抽象函数往往是通过对自变量合理的赋值来解决问题；函数周期性、奇偶性、对称性三者之间具有知二求一的关系．