题目内容
已知f（x）=-sinωxcosωx+
cos2ωx-
的周期为2π
（I）求f（x）的最大值以及取最大值时x的集合
（II）已知f（α）=
，且α∈（0，
），求cos（
+2α）
| 3 |
| ||
| 2 |
（I）求f（x）的最大值以及取最大值时x的集合
（II）已知f（α）=
| 1 |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 6 |
分析：（I）将f（x）解析式第一项利用二倍角的正弦函数公式化简，第二项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由已知的周期，利用周期公式求出ω的值，确定出f（x）的解析式，由正弦函数的值域即可得出f（x）的最大值，以及取最大值时x的集合；
（II）由第一问确定的函数解析式及f（α）=
，根据α的范围求出这个角的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出cos（α+
）的值，利用二倍角的正弦函数公式求出sin（2α+
），把所求式子中的角变形并利用诱导公式化简，将sin（2α+
）的值代入即可求出值．
（II）由第一问确定的函数解析式及f（α）=
| 1 |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
解答：解：（I）f（x）=-
sin2ωx+
cos2ωx=sin（2ωx+
），
∵T=
=2π，∴ω=
，
∴f（x）=sin（x+
），
∴f（x）的最大值为1，
∵此时x+
=2kπ+
，k∈Z，即x=2kπ-
，k∈Z，
则取最大值时x的集合为{x|x=2kπ-
，k∈Z}；
（II）f（α）=sin（α+
）=
，
∵α∈（0，
），∴α+
∈（
，π），
∴cos（α+
）=-
，
∴sin（2α+
）=2sin（α+
）cos（α+
）=-
，
则cos（2α+
）=cos（2α+
-
）=cos[
-（2α+
）]=sin（2α+
）=-
．
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| 2π |
| 3 |
∵T=
| 2π |
| 2ω |
| 1 |
| 2 |
∴f（x）=sin（x+
| 2π |
| 3 |
∴f（x）的最大值为1，
∵此时x+
| 2π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
则取最大值时x的集合为{x|x=2kπ-
| π |
| 6 |
（II）f（α）=sin（α+
| 2π |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
∵α∈（0，
| π |
| 2 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴cos（α+
| 2π |
| 3 |
2
| ||
| 3 |
∴sin（2α+
| 4π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
4
| ||
| 9 |
则cos（2α+
| 5π |
| 6 |
| 4π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
| 4π |
| 3 |
| 4π |
| 3 |
4
| ||
| 9 |
点评：此题考查了二倍角的正弦、余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象与性质，诱导公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式是解本题的关键．
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