Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A₁A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A₁B；
（Ⅱ）求几何体C₁DABA₁的体积．

Answer 1

分析：（I）连接BD交AC于点O，根据正方形的性质，A₁D⊥平面ABCD，易得AC⊥BD，AC⊥A₁D，由线面垂直的判定定理可得AC⊥平面A₁BD，进而根据线面垂直的性质得到AC⊥A₁B
（II）几何体C₁DABA₁的体积，有两部分组成，即VC1DABA1=VC1-A1BD+VA1-ABD，分别求出两个三棱锥的底面积和高，分别计算出它们的面积，即可得到求出几何体C₁DABA₁的体积．

解答：证明：（Ⅰ）连接BD交AC于点O
∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD
又∵AD₁⊥平面ABCD，AC?平面ABCD
∴AC⊥A₁D，A₁D∩BD=D∴AC⊥平面A₁BD，A₁B?平面A₁BD
∴AC⊥A₁B…（5分）
解：（Ⅱ）VC1DABA1=VC1-A1BD+VA1-ABD
∵AD₁⊥平面ABCD∴AD₁为几何体A₁-ABD的高
∴VC1-A1BD=

1

3

AD1•S△ABD=

1

3

×

3

×

1×1

2

=

3

6

…（7分）
∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁∴CC₁∥AA₁，CC₁=AA₁
∴四边形A₁C₁CA是平行四边形
∴AC∥A₁C₁由（1）得AC⊥平面A₁BD∴A₁C₁⊥平面A₁BD
∴A₁C₁为几何体C₁-A₁BD的高
∵AD₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴BD⊥A₁D
∴VC1-A1BD=

1

3

A1C1•S△A1BD=

1

3

×

2

×

3 × 2

2

=

3

3

…（10分）
∴VC1DABA1=VC1-A1BD+VA1-ABD=

3

2

…（12分）

点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的相互转化，（II）的关键是VC1DABA1=VC1-A1BD+VA1-ABD，将不规则几何体体积转化为棱锥体积和．