题目内容

已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
（Ⅰ）由题意，可得 2a+2c=6+4
2
，即a+c=3+2
2
，…（1分）
又椭圆的离心率为
2
2
3
，即
c
a
=
2
2
3
，…（2分）
所以a=3，c=2
2
，
所以b2=a2-c2=1，…（3分）
所以椭圆M的方程为
x2
9
+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）由
x=ky+m
x2
9
+y2=1
消去x得（k2+9）y2+2kmy+m2-9=0．…（5分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），有y1+y2=-
2km
k2+9
，y1y2=
m2-9
k2+9
．①…（6分）
因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C（3，0），所以 
CA
•
CB
=0．…（7分）
由 
CA
=(x1-3，y1)，
CB
=(x2-3，y2)，得 （x1-3）（x2-3）+y1y2=0．…（8分）
将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，
得 (k2+1)y1y2+k(m-3)(y1+y2)+(m-3)2=0，…（10分）
将 ①代入上式得(k2+1)×
m2-9
k2+9
+k(m-3)×(-
2km
k2+9
)+(m-3)2=0
解得 m=
12
5
，或m=3．…（12分）
练习册系列答案
相关题目
（2011•西城区二模）已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为6+4
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求△ABC面积的最大值．
（2013•昌平区一模）已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，其短轴的一个端点到右焦点的距离为2，且点A（
2
，1）在椭圆M上．直线l的斜率为
2
2
，且与椭圆M交于B、C两点．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．
（2012•商丘三模）已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
3
，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4
2
．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l：x=ky+m与椭圆M交手A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值．
已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，直线y=kx（k≠0）与椭圆M交于A、B两点，直线y=-
1
k
x与椭圆M交于C、D两点，P点坐标为（a，0），直线PA和PB斜率乘积为-
1
2
．
（1）求椭圆M离心率；
（2）若弦AC的最小值为
2
6
3
，求椭圆M的方程．
（2012•昌平区二模）如图，已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，离心率e=
6
3
，椭圆与x正半轴交于点A，直线l过椭圆中心O，且与椭圆交于B、C两点，B（1，1）．
（Ⅰ） 求椭圆M的方程；
（Ⅱ）如果椭圆上有两点P、Q，使∠PBQ的角平分线垂直于AO，问是否存在实数λ（λ≠0）使得
PQ
=λ
AC
成立？

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