Question

在△ABC中，若acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

，求证：a+c=2b．

Answer 1

分析：利用半角公式把条件化为sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，再由两角和的正弦公式得sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，由诱导公式可得sinA+sinC=2sinB，再由正弦定理可得a+c=2b．

解答：证明：∵acos2

C

2

+ccos2

A

2

=

3b

2

，
∴sinA•

1+cosC

2

+sinC•

1+cosA

2

=

3sinB

2

，
即sinA+sinAcosC+sinC+sinCcosA=3sinB，
∴sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，即sinA+sinC=2sinB，
∴a+c=2b．

点评：本题主要考查正弦定理、两角和的正弦公式，半角公式、诱导公式的应用，属于中档题．