Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，其前n项和为S_n，且有S_n=

1

4

（a_n+1）²，数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

2

的等比数列．
（1）求证：{a_n}是等差数列，并求a_n；
（2）若C_n=a_n（2-b_n），求数列{C_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“累加求和”即可得到b_n，再利用“错位相减法”即可得到T_n．

解答：解：（1）当n=1时，a1=S1=

1

4

(a1+1)2，化为(a1-1)2=0，解得a₁=1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=

1

4

(an+1)2-

1

4

(an-1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项均为正数，∴a_n-a_n-1-2=0，即a_n-a_n-1=2．
因此数列{a_n}是首项为1，公差为2的等差数列．
∴a_n=a₁+（n-1）d=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）∵数列b₁，b₂-b₁，b₃-b₂，…，b_n-b_n-1是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴bn-bn-1=1×(

1

2

)n-1，
∴b_n=（b_n-b_n-1）+（b_n-1-b_n-2）+…+（b₂-b₁）+b₁
=(

1

2

)n-1+(

1

2

)n-2+…+

1

2

+1=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-

1

2n-1

．
∴cn=

2n-1

2n-1

．
∴T_n=1+

3

2

+

5

22

+…+

2n-1

2n-1

，

1

2

Tn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-3

2n-1

+

2n-1

2n

，
∴

1

2

Tn=1+

2

2

+

2

22

+…+

2

2n-1

-

2n-1

2n

=2×

1-( 1 2 )n

1- 1 2

-1-

2n-1

2n

=3-

2n+3

2n

，
∴Tn=6-

2n+3

2n-1

．

点评：熟练掌握等差数列的通项公式、等比数列的前n项和公式、an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

、“累加求和”、“错位相减法”等基础知识与基本方法是解题的关键．