Question

（2007•广州二模）如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AB=2，BC=1，AA1=

3

．
（Ⅰ）证明：A₁C⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）若D是棱CC₁的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB₁C₁，试证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知可得BC⊥AC，BC⊥CC₁，从而可证BC⊥平面ACC₁A₁，则BC⊥A₁C；容易证明四边形ACC₁A₁为正方形，即证A₁C⊥AC₁，由线面垂直的判定定理可证
（Ⅱ）要使DE∥平面AB₁C₁，则根据面面平行的性质定理，只要证明平面EFD∥平面AB₁C₁，即证EF∥平面AB₁C₁，FD∥平面AB₁C₁，从而考虑，当点E为棱AB的中点时，取BB₁的中点F，可证明

解答：证明：（Ⅰ）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁为直三棱柱，
∴BC⊥CC₁．
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁C?平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁C
∵BC∥B₁C₁，则B₁C₁⊥A₁C．                                   …（4分）
在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=

3

．
∵AA1=

3

，∴四边形ACC₁A₁为正方形．
∴A₁C⊥AC₁．                                                   …（6分）
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁C⊥平面AB₁C₁．                         …（7分）
（Ⅱ）当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB₁C₁   …（9分）
证明如下：
如图，取BB₁的中点F，连EF、FD、DE，
∵D、E、F分别为CC₁、AB、BB₁的中点，
∴EF∥AB₁．
∵AB₁⊆平面AB₁C₁，EF?平面AB₁C₁
∴EF∥平面AB₁C₁．　　　    …（12分）
同理可证FD∥平面AB₁C₁．
∵EF∩FD=F，
∴平面EFD∥平面AB₁C₁
∵DE?平面EFD，
∴DE∥平面AB₁C₁．         …（14分）

点评：本题主要考查空间中线面关系，考查数形结合的数学思想和方法，以及空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力