题目内容

设F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，且g（2）=0，则不等式F（x）＜0的解集是（　　）
分析：先根据f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0可确定[f（x）g（x）]′＜0，进而可得到f（x）g（x）在x＜0时的单调性，结合函数F（x）的奇偶性可确定F（x）在x＞0时的单调性，最后根据g（-2）=0可求得答案．
解答：解：∵f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＜0，
即[f（x）g（x）]′＜0
故F（x）在（-∞，0）上单调递减，
又∵F（x）=f（x）g（x）是R上的奇函数，
∴F（x）的图象关于原点对称，
所以F（x）在（0，+∞）上时也是单调减函数，
∵f（2）g（2）=0，
∴f（-2）g（-2）=0．
即F（-2）=0且F（2）=0
∴当x＞0时，F（x）＜0=F（2），则x＞2，
当x＜0时，F（x）＜0=F（-2），-2＜x＜0，
综上所述：不等式F（x）＜0的解集是（-2，0）∪（2，+∞）．
故选A．
点评：本题考查了函数的奇偶性的应用，以及导数的运算，不等式的解法等，根据导数的正负可以确定函数的单调性，利用数形结合的思想进行解题．属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设f（x）=
ax2+1bx+c
（a，b，c∈Z）满足f（-x）=-f（x），且在[1，+∞）上单调递增．若有f（1）=2，f（2）＜3成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）用定义证明f（x在（-1，0））上是减函数．
设f（x）的定义域为{x|x∈R，x≠
k
2
，k∈Z}，且f(x+1)=-
1
f(x)
，f（x）为奇函数，当0＜x＜
1
2
时，f（x）=3x．
（1）求f(
2013
4
)；
（2）当2k+
1
2
＜x＜2k+1(k∈Z)时，求f（x）的表达式；
（3）是否存在这样的正整数k，使得当2k+
1
2
＜x＜2k+1(k∈Z)时，关于x的不等式log3f(x)＞x2-kx-2k有解？
（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．
（1）试判断函数g（x）=2x（x∈R），k(x)=
1x
 (x＜0)是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围；
（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值．
设f（x）、g（x）都是单调函数，有下列命题：①若f（x）是增函数，g（x）是增函数，则f（x）-g（x）是增函数；②若f（x）是增函数，g（x）是减函数，则f（x）-g（x）是增函数；③若f（x）是减函数，g（x）是增函数，则f（x）-g（x）是减函数；④若f（x）是减函数，g（x）是减函数，则f（x）-g（x）是减函数.

其中正确的命题是(    )

A.①③          B.①④         C.②③        D.②④

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