Question

【题目】已知点D是椭圆C： =1（a＞b＞0）上一点，F1 ， F2分别为C的左、右焦点，|F1F2|=2 ，∠F1DF2=60°，△F1DF2的面积为
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点Q（1，0）的直线l与椭圆C相交于A，B两点，点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1 ， k2 ， 当k1k2最大时，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，椭圆C： =1（a＞b＞0）中，|F1F2|=2 ，

易知 ，

由

，

由余弦定理及椭圆定义有：

a2=4a=2，

又 ，∴ ，

从而

（2）解：根据题意，两2种情况讨论：

①当直线l垂直于x轴时，则 ；

②当直线l与x轴不垂直时，设A（x1，y1），B（x2，y2），

直线l的方程为y=k（x﹣1），

将y=k（x﹣1）代入 ，

整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，

则 ，

又y1=k（x1﹣1），y2=k（x2﹣1），

所以 ，

令 ，由h'（k）=0得 ，

所以当且仅当k=1时，k1k2最大，所以直线l的方程为x﹣y﹣1=0

【解析】1、利用面积公式可得| DF1| |DF2| = ，根据余弦定理以及椭圆的定义可求得a=2，即得椭圆的方程。
2、当直线l的斜率不存在时，k1 k2为定值；当直线l的斜率存在时，方程可设为y=k（x﹣1），与椭圆方程联立后，根据韦达定理化简整理可得 k 1 k2的关于k的式子，利用求导得到 k的值，进而得到k1k2的最大值故可得直线的方程。