Question

（本小题满分14分）已知函数，其中是的导函数。  （1）若在处的导数为4，求实数的值；（2）对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围；（3）设，当实数在什么范围内变化时，函数的图象与直线只有一个公共点

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)   （Ⅲ）

解析:

(1) ,,;(4分)

(2)    ，

    对满足的一切的值，都有,即 对于 都有;

解法1：上述条件等价于在上;………(6分)

     明显的,当时,不满足条件;   当时, 在上上单调递增,

       则,解得:, 所以 ;

    当时, 在上上单调递减,

      则,解得: ,

      所以不存在；  综上所得，实数的取值范围是;……(10分)

解法2：又由是关于的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到；所以只需  即……(6分)解得：

故实数的取值范围是;……(10分)

  （3）,,,

       当,明显的与有且只有一交点;

    当时,令,解得:,

                  令,解得: ;

      在上单调递增,在上单调递减,

        若时，无限大；且与只有一个公共点,

只要满足：，解得： 所以 ；

  当 时, 令,解得:,

  令,解得: ;

       在上单调递增,在上单调递减,

若时，无限大；且与只有一个公共点,

只要满足：,解得:  所以 ；

    综上所述, 实数的取值范围是:  ………(14分)