题目内容
已知数列{an}满足an+1=2+
(n=1,2,3,…),bn=
(n=1,2,3,…),cn=an-3(n=1,2,3,…).(1)若a1=2,证明{bn}是等比数列;
(2)在(1)的条件下,求{an}的通项公式;
(3)若a1∈(
,
),证明数列{|cn|}的前n项和Sn满足Sn＜1.
(1)证明:∵a1=2,∴b1==.
由已知bn+1===
·
=
bn,
∴{bn}是首项为
,公比为
的等比数列.
(2)解:由(1)知bn=(
)(
)n-1=(
)n,
即
=(
)n,∴an=
.
(3)证明:首先证明an＞2.
①当n=1时,∵a1∈(
,
),∴a1＞2;
②假设n=k时,ak＞2;
当n=k+1时,ak+1=2+
＞2,
∴an＞2.∴|
|＜
.
∴|cn|=|an-3|=|2+
-3|=|
|＜
|an-1-3|＜
|cn-1|.
∴|cn|＜
|cn-1|＜…＜(
)n-1|c1|.
∴Sn=|c1|+|c2|+…+|cn|＜|c1|+
|c1|+…+(
)n-1·|c1|
=|c1|·［1+(
)+…+(
)n-1］=|c1|·
=2［1-(
)n］|c1|.
∵
＜a1＜
,∴
＜a1-3＜
,即
＜c1＜
,即|c1|＜
.
∴Sn＜2［1-(
)n］|c1|＜1-(
)n＜1.
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