Question

设S_n是公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，且S₁，S₂，S₄成等比数列．
（1）求

a5

a7

的值；
（2）若a₅=3，求a_n及S_n的表达式．

Answer 1

分析：（1）要求

a5

a7

的值，可根据已知条件，求出公差d与首项a₁的关系，将a₅，a₇都用公差d表示，约分即得答案．
（2）要求a_n及S_n的表达式，关键根据已知条件是列出公差d与首项a₁的方程，解方程求出数列的基本项公差d与首项a₁的值，然后根据定义即可求解．

解答：解：（1）设S_n的公差为d，
∵S₁，S₂，S₄成等比，
∴，S₂²=S₁S₄
即（2a₁+d）²=a₁（4a₁+6d），化简得d²=2a₁d，
又d≠0，
∴d=2a₁
0≤x≤3
∴

a5

a7

=

a1+4d

a1+6d

=

9d

13d

=

9

13

（2）∵a₅=a₁+4d=9a₁=3，
∴a1=

1

3

，d=

2

3

an=a1+(n-1)d=

2n-1

3

，
Sn=

a1+an

2

n=

n2

3

点评：本题考查了等差与等比数列的基本概念和公式的应用，难度不大．牢固掌握教材所学过中的基本概念和公式就可以顺利解题啦．要求数列两项的比值，可根据已知条件，求出公差d与首项a₁的关系，将两项都用公差d表示，约分即得答案．（如本题第（1）步）．要求a_n及S_n的表达式，关键根据已知条件是列出公差d与首项a₁的方程，解方程求出数列的基本项公差d与首项a₁的值，然后根据定义即可求解．方程思想是解决数列问题的基本思想，通过公差列方程（组）来求解基本量是数列中最基本的方法，同时在解题中也要注意数列性质的应用．