Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n²=（2a_n+1）a_n+1（n∈N^*）．
（1）令，求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比数列的定义和对数的运算性质证明为常数即可；
（2）由（1），利用等比数列的通项公式即可得出；
（3）通过二项式定理放缩，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．
解答：（1）证明：∵====2，
∴数列{b_n}是以=lg2为首项，以2为公比的等比数列．

（2）由（1）知，即，故．
（3）由（2）得=，
∴=+…+=+…+，
当n≥4时，+…+=n+1，
即n≥4时，，
故＜+
==．

∴．
点评：数列掌握等比数列的定义和通项公式、前n项和公式、对数的运算性质、二项式定理等是解题的关键．