Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x²上异于坐标原点O的两不同动点A、B满足AO⊥BO（如图所示）．
（Ⅰ）求△AOB的重心G（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；
（Ⅱ）△AOB的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由

Answer 1

解（I）设△AOB的重心为G（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则
（1）∵OA⊥OB∴kOA●kOB=﹣1，即x₁x₂+y₁y₂=0，
（2）又点A，B在抛物线上，有y₁=x₁²，y₂=x₂²，
代入（2）化简得x₁x₂=﹣1
∴Y==（x₁²+x₂²）=[（x₁+x₂）²﹣2x₁x₂]=×（3x）²+=3x²+．
所以重心为G的轨迹方程为y═3x²+．
（II）S_△AOB=|OA||OB|==
由（I）得S_△AOB=≥=×2=1
当且仅当x₁²=x₂²即|x₁|=|x₂|=1时，等号成立．
所以△AOB的面积存在最小值，存在时求得最小值1