Question

设函数的图象关于直线y=x对称．
（Ⅰ）求实数k的值；
（Ⅱ）若且f（|t|+2）＜f（4a），求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于函数的图象关于直线y=x对称故函数的反函数为其本身所以可求出函数f（x）的反函数然后令f^-1（x）=f（x）即可求出k．
（2）可在（1）的基础上求出a然后判断函数f（x）的单调性再根据单调性解不等式f（|t|+2）＜f（4a）即可．
解答：解：（1）∵y=
∴x=
∴f^-1（x）=
∵函数的图象关于直线y=x对称
∴=
∴k=1
（2）由（1）知k=1∴a==1
∵f（|t|+2）＜f（4a）
∴f（|t|+2）＜f（4）
∵f（x）=在（1，+∞）单调递减且|t|+2≥2＞1，4＞1
∴|t|+2＞4
∴t＞2或t＜-2
点评：本题主要考察了反函数的概念和利用函数的单调性解不等式．解题的关键是第一问要根据条件函数的图象关于直线y=x对称分析出函数的反函数仍为其本身而对于第二问先利用极限的四则运算法则求出a的值然后可得出|t|+2≥2＞1，4＞1故要判断f（x）=在（1，+∞）上的单调性然后根据单调性和函数值的大小脱去符号“f”从而得出t的取值范围！