Question

.(本小题满分12分）

 如图，在四棱锥P－ABCD中,底面为正方形，PA丄平面ABCD,且PA=AD,E为棱PC上的一点,PD丄平面

(I)求证:E为PC的中点；

(II)若N为CD的中点，M为AB上的动点，当直线MN与平面ABE所成的角最大时,求二面角的大小.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）过作交于,由

可知

四点共面，…………………2分

又因为

∴,

∵

∴在中，,………………………4分

∴可得E为PC的中点．……………………6分

（Ⅱ）连结

连结，则为直线MN与平面ABE所成的角．

在中，

∴最小时，最大，此时．

所以M为AB中点，……………………………9分

则．

由，

可知

设，

.……………12分

法二（Ⅰ）建立如图所示空间直角坐标系,不妨设,则，.………………2分

设,

，…………………4分

因为  , ，

，

即,.……………………6分

（Ⅱ）设，,

由（Ⅰ）知面的法向量为，

设MN与面ABE所成角为,

当t=时，最大，此时M为AB中点,…………………9分

平面NEM的法向量为 设平面CEM的法向量为

   而

    令

，

.……………………12分

 

【解析】略