Question

已知等差数列{a_n} 的公差d不为0，设S_n=a₁+a₂q+…+a_nq^n-1，T_n=a₁-a₂q+…+（-1）^n-1a_nq^n-1，n∈N^*
（Ⅰ）若q=1，a₁=1，S₃=15，求数列{a_n} 的通项公式；
（Ⅱ）若a₁=d，且S₁，S₂，S₃成等比数列，求q的值．
（Ⅲ）若q≠±1，证明（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=

2dq(1-q2n)

1-q2

，n∈N^*．

Answer 1

分析：（I）先由题意求得S₃的表达式，把q=1，a₁=1，S₃=15，代入求得d，则数列的通项公式可得．
（II）分别求得S₁，S₂，S₃的表达式，代入S₂²=S₁S₂，整理求得q．
（III）分别求出S_2n与T_2n，然后求出S_2n-T_2n与S_2n+T_2n，将（1-q）S_2n-（1+q）T_2n转化成（S_2n-T_2n）-q（S_2n+T_2n），进行化简整理可得结论．

解答：解（I）由题设，S₃=a₁+（a₁+d）q+（a₁+2d）q²，将q=1，a₁=1，S₃=15，
代入解得d=4，
所以a_n=4n-3（n∈N^*）．
（II）当a₁=d，S₂=d+2dq，S₃=d+2dq+3dq²，
S₁，S₂，S₃成等比数列，
∴S₂²=S₁S₂，
即（d+2dq）²=d（d+2dq+3dq²），注意到d≠0，
整理得q=-2．
（III）证明：由题设可得S_2n=a₁+a₂q+a₃q²++a_2nq^2n-1，①
T_2n=a₁-a₂q+a₃q²-a₄q³+-a_2nq^2n-1，②
①式减②式，得S_2n-T_2n=2（a₂q+a₄q³+-a_2nq^2n-1）
①式加上②式，得S_2n+T_2n=2（a₁+a₃q²++a_2n-1q^2n-2）
②式两边同乘q，得q（S_2n+T_2n）=2（a₁q+a₃q³++a_2n-1q^2n-1）
所以，（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=（S_2n-T_2n）-q（S_2n+T_2n）
=2d（q+q³++q^2n-1）
=

2dq(1-q2n)

1-q2

，n∈N*

点评：本小题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列通项公式与前n项和等基本知识，考查运算能力和推理论证能力和综合分析解决问题的能力．