Question

已知函数f(x)=,g(x)=.

(1)计算f(4)-5f(2)g(2)；

(2)计算f(9)-5f(3)g(3)；

(3)计算f(16)-5f(4)g(4)；

(4)由(1)(2)(3)概括出涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的一个等式，并加以证明.

Answer 1

思路分析：本题主要考查指数幂的运算和探究能力.依据实数指数幂的运算性质可以发现(1)(2)(3)中各式值互为相反数，故概括的结论也是一个等式.

解：(1)f(4)-5f(2)g(2)==0.

(2)f(9)-5f(3)g(3)==0.

(3)f(16)-5f(4)g(4)==0

(4)由于4=2×2,9=3×3,16=4×4，因此概括、猜想：对任意x≠0，均有f(x²)=5f(x)g(x).

证明：∵5f(x)g(x)=5·=f(x²)，

∴对任意x≠0，均有f(x²)=5f(x)g(x).

绿色通道：本题探究涉及函数f(x)和g(x)的对于所有不等于0的实数x都成立的等式时，采用了归纳、猜想、证明的方法，这是我们发现结论、认识世界的主要手段.其中指数幂的运算是关键.