Question

已知函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）的图象关于原点对称．
（1）求m的值；
（2）判断函数f（x）在区间（1，+∞）上的单调性并加以证明；
（3）当a＞1，x∈（t，a）时，f（x）的值域是（1，+∞）求a与t的值．

Answer 1

分析：（1）根据题意，易得f（x）为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，代入解析式变形可得log_a

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=0，由对数的性质可得

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=1，解可得m=1或m=-1，分别验证m=1、m=-1是否符合对数函数的定义域要求，即可得答案；
（2）由（1）可得f（x）=log_a

1+x

x-1

，设任意的1＜x₁＜x₂，有作差法可得f（x₂）-f（x₁）=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

，分0＜a＜1与a＞1两种情况讨论f（x₂）-f（x₁）的符号，即可得答案；
（3）求出f（x）的定义域，可得（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），分析可得（t，a）⊆（1，+∞），由（2）中得到的单调性，可得f（a）=1且

t+1

t-1

=0，解可得答案．

解答：解：（1）因为函数f（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞0，a≠1）的图象关于原点对称，
即f（x）为奇函数，则f（-x）+f（x）=0，
log_a

1+mx

-x-1

+log_a

1-mx

x-1

=log_a

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=0，
即

(1-mx)(1+mx)

(-x-1)(x-1)

=1，
解可得，m=1或m=-1，
当m=1时，

1-mx

x-1

=-1＜0，不合题意，舍去；
当m=-1时，

1-mx

x-1

=

1+x

x-1

，符合题意，
故m=-1；
（2）当0＜a＜1时，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，此时f（x）为增函数，当a＞1时，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，此时f（x）为减函数，证明如下
由（1）得m=-1，则f（x）=log_a

1+x

x-1

，
任取1＜x₁＜x₂，
则f（x₂）-f（x₁）=log_a

1+x2

x2-1

-log_a

1+x1

x1-1

=log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

，
又由1＜x₁＜x₂，则0＜

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜1，
当0＜a＜1时，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，此时f（x）为增函数，
当a＞1时，log_a

(x2+1)(x1-1)

(x2-1)(x1+1)

＜0，即f（x₂）-f（x₁）＜0，此时f（x）为减函数，
（3）由（1）知，f（x）=log_a

1+x

x-1

，

1+x

x-1

＞0，解可得，x＞1或x＜-1，
则f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（1，+∞），
故（t，a）必然含于（-∞，-1）或（1，+∞），
由a＞1，可知（t，a）⊆（∞，-1）不成立，则必有（t，a）⊆（1，+∞），
此时，f（x）的值域为（1，+∞），又由函数f（x）为减函数，
必有f（a）=1且

t+1

t-1

=0；
解可得，t=-1，a=1+

2

；
故t=-1，a=1+

2

．

点评：本题考查对数函数的综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性以及值域等性质，注意（1）中，求出m的值必须进行验证，其次要牢记对数函数的有关性质．