Question

已知平面向量a＝(，－1)，b＝(，)，

(1)若存在实数k和t，满足x＝(t＋2)a＋(t²－t－5)b，y＝－k a＋4b且x⊥y，求出k关于t的关系式k＝f(t)；

(2)根据(1)的结论，试求出函数k＝f(t)在t∈(－2,2)上的最小值.

Answer 1

(1)由题意知a·b＝0，且|a|＝2，|b|＝1，

∴x·y＝－(t＋2)·k·(a)²＋4(t²－t－5)·(b)²＝0，

∴k＝f(t)＝(t≠－2).

(2)k＝f(t)＝＝t＋2＋－5，

∵t∈(－2,2)，∴t＋2＞0，

则k＝t＋2＋－5≥－3，

当且仅当t＋2＝1，即t＝－1时取等号，∴k的最小值为－3.

【方法技巧】平面向量的数量积运算问题的解题技巧

(1)平面向量的数量积运算有时类似于多项式的乘法；(2)熟记公式a·a＝a²＝|a|²，易将向量问题转化为实数问题.