题目内容
已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对任意的x，y∈R都满足f（x?y）=x?f（y）+y?f（x），则f（x）是（ ）
| A、奇函数 | B、偶函数 | C、不是奇函数也不是偶函数 | D、既是奇函数又是偶函数 |
分析：分别令y=-x与y=x，即可求得f（-x）+f（x）=0，从而得到答案．
解答：解：∵f（x•y）=x•f（y）+y•f（x），
令x=y=-t得：f（t2）=-tf（-t）-tf（-t），①
再令x=y=t得：f（t2）=tf（t）+tf（t），②
由①②得：-tf（-t）-tf（-t）=tf（t）+tf（t），
即2t[f（t）+f（-t）]=0，
∵t不恒为0，
∴f（t）+f（-t）=0，
即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数，
故选：A．
令x=y=-t得：f（t2）=-tf（-t）-tf（-t），①
再令x=y=t得：f（t2）=tf（t）+tf（t），②
由①②得：-tf（-t）-tf（-t）=tf（t）+tf（t），
即2t[f（t）+f（-t）]=0，
∵t不恒为0，
∴f（t）+f（-t）=0，
即f（x）+f（-x）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）是奇函数，
故选：A．
点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法，属于中档题．
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