Question

古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n∈N^*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A，B，C可供使用．

现用a_n表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
（1）写出a₁，a₂，a₃，并求出a_n；
（2）记b_n=a_n+1，求和Sn=

1≤i≤j≤n

bibj(i，j∈N*)；（其中

1≤i≤j≤n

bibj表示所有的积b_ib_j（1≤i≤j≤n）的和）
（3）证明：

S1

S2

+

S2

S3

+…+

Sn

Sn+1

＜

n

4

-

3

16

+

3

16

•

1

2n

(n∈N*)．

Answer 1

分析：（1）由题意要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n-1个圆盘转移到B柱上，需要a_n-1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，需要一次转移，再将B柱上的n-1个圆盘转移到C柱上，需要a_n-1次转移，所以有a_n=2a_n-1+1，利用构造法可求a_n；
（2）由第（1）问解答知b_n=a_n+1=2ⁿ则Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[(b1+b2+…+bn)2+(

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

)]将b_n代入利用等比数列求和公式求和即得；
（3）由（2）求得和cn=

2n-1

2n+2-1

，利用利用放缩法结合等比数列求和可证．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=3，a₃=7，
事实上，要将n个圆盘全部转移到C柱上，只需先将上面n-1个圆盘转移到B柱上，
需要a_n-1次转移，然后将最大的那个圆盘转移到C柱上，
需要一次转移，再将B柱上的n-1个圆盘转移到C柱上，
需要a_n-1次转移，所以有a_n=2a_n-1+1
则a_n+1=2（a_n-1+1）⇒a_n+1=2ⁿ，
所以a_n=2ⁿ-1
（2）由第（1）问解答知b_n=a_n+1=2ⁿ
则Sn=

1≤i≤j≤n

bibj=

1

2

[(b1+b2+…+bn)2+(

b

2 1

+

b

2 2

+…+

b

2 n

)]
=

1

2

[(2+22+…+2n)2+(22+24+26+…+22n)]
=

1

2

[(2n+1-2)2+

4

3

(4n-1)]=

4

3

(2n-1)(2n+1-1)(n∈N*)
（3）令cn=

Sn

Sn+1

(n∈N*)，则由（2）得：
cn=

2n-1

2n+2-1

=

1

4

•

2n- 1 4 - 3 4

2n- 1 4

=

1

4

(1-

3 4

2n- 1 4

)=

1

4

-

3

16

•

1

2n- 1 4

＜

1

4

-

3

16

•

1

2n

所以c1+c2+c3+…+cn＜

n

4

-

3

16

•(

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

)=

n

4

-

3

16

+

3

16

•

1

2n

．

点评：本题的（1）问关键是从特殊中发现一般性的规律，考查构造法求数列的通项；（3）问体现等价转化的数学思想，同时应注意放缩法的运用．