Question

已知函数f（x）=e^kx（k是不为零的实数，e为自然对数的底数）．

（1）若曲线y=f（x）与y=x²有公共点，且在它们的某一公共点处有共同的切线，求k的值；

（2）若函数h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在区间内单调递减，求此时k的取值范围．

Answer 1

考点：

利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系．

专题：

导数的综合应用．

分析：

（1）设切点坐标，再代入两个解析式建立方程①，再由在切点处导数值相等列出方程②，联立方程求解；

（2）由题意求出h（x）解析式，再求出此函数的导数，根据区间关系求出k的范围，再对k分类：k＜﹣1时和0＜k＜1时，再由条件和导数与函数单调性关系，分别列出等价条件，求出k的范围，最后并在一起．

解答：

解：（1）设曲线y=f（x）与y=x²有共同切线的公共点为P（x₀，y₀），

则          ①，

又∵y=f（x）与y=x²在点P（x₀，y₀）处有共同切线，

且f′（x）=ke^kx，（x²）′=2x，

∴     ②，

由①②解得，．                  

（2）由f（x）=e^kx得，函数h（x）=（x²﹣2kx﹣2）e^kx，

∴（h（x））′=[kx²+（2﹣2k²）x﹣4k]e^kx

==．             

又由区间知，，

解得0＜k＜1，或k＜﹣1．            

①当0＜k＜1时，

由（h（x））'=，得，

即函数h（x）的单调减区间为，

要使h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在区间内单调递减，

则有，解得．                                

②当k＜﹣1时，

由（h（x））'=，得x＜2k或，

即函数h（x）的单调减区间为（﹣∞，2k）和，

要使h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在区间内单调递减，

则有，或，

这两个不等式组均无解．

综上，当时，

函数h（x）=f（x）（x²﹣2kx﹣2）在区间内单调递减．

点评：

本题考查了导数的几何意义，导数与函数的单调性关系，查了分类讨论思想和转化思想．