Question

已知（1+x）+（1+x）²+（1+x）³+…+（1+x）ⁿ=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ，（n∈N^*，N≥3）．
（1）求证：a3=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

；
（2）若a₁+a₂+…+a_n-1=29-n，求正整数n的值．

Answer 1

分析：（1）利用组合数先表示出a₃，再利用组合和的性质化简组合数的和，得到证明．
（2）先求出a_n，再通过给二项式中的x分别赋值0，1得到a₀=n和a₀+a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=2ⁿ⁺¹-2，进一步求出a₁+a₂+…+a_n-1，
代入已知等式，解方程求出n的值．

解答：证明：（1）a₃为x³的系数，
所以a₃=

C

3 3

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 4

+

C

3 4

+

C

3 5

+…+

C

3 n

=

C

4 n+1

=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

所以a3=

(n+1)n(n-1)(n-2)

24

解：（2）只有（1+x）ⁿ的展开式中才有含xⁿ的项，它的系数为1，
令x=0得a₀=n，
令x=1得a₀+a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=2+2²+2³++2ⁿ=2ⁿ⁺¹-2，
∴a₁+a₂+…+a_n-1=2ⁿ⁺¹-2-1-n
∴2ⁿ⁺¹-3-n=29-n
得n=4；

点评：本题考查利用二项展开式的通项公式求特殊项的系数；考查组合数的性质；考查利用赋值法求二项展开式的系数和，属于中档题．