Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，且AB=AA₁，E、F分别为C₁C、BC的中点．
（1）求证：B₁F⊥平面AEF；
（2）求二面角B₁-AE-F的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题设条件推导出AF⊥面B₁FE，故B₁F⊥AF，设AB=1，能够推导出=，故B₁F⊥EF，所以B₁F⊥平面 AEF．
（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，则=（1，0，1），=（），=（0，1，），分别求出平面AB₁E的法向量为和平面AEF的法向量为，利用向量法能够求出二面角B₁-AE-F的余弦值．
解答：（1）证明：在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵△ABC为等腰三角形，∠BAC=90°，F为BC的中点，
∴AF⊥BC，AF⊥BB₁，
∴AF⊥面B₁FE，
∵B₁F?面B₁FE，
∴B₁F⊥AF，
设AB=1，∵AB=AA₁，
∴AB=AA₁=AC=BB₁=1，BF=CF=，
∴=，EF==，=，
∴=，
∴B₁F⊥EF，
所以B₁F⊥平面 AEF．
（2）以AB为x轴，以AC为y轴，以AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，设AB=1，
则A（0，0，0），B₁（1，0，1），F（，，0），E（0，1，），
∴=（1，0，1），=（），=（0，1，），
设平面AB₁E的法向量为=（x₁，y₁，z₁），则=0，=0，
∴，∴=（1，，-1）．
设平面AEF的法向量为=（x₂，y₂，z₂），
则，=0，
∴，∴=（1，-1，2），
设二面角B₁-AE-F的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=．
∴二面角B₁-AE-F的余弦值为．
点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．