Question

已知函数f(x)=log2

1+x

1-x

，求函数f（x）的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性．

Answer 1

分析：由题，可令

1+x

1-x

＞0，解出函数的定义域，由f（-x）=log2(

1+x

1-x

)-1=-f（x），依据奇函数定义得出函数的奇偶性，再由复合函数单调性的判断方法判断出单调性即可

解答：解：由题意，令

1+x

1-x

＞0，解得-1＜x＜1，故函数的定义域为（-1，1）
由于f（-x）=log2(

1+x

1-x

)-1=-f（x），∴函数是奇函数
当x∈（-1，1）时
y=1-x是减函数
y=

2

1-x

是增函数
y=

2

1-x

-1是增函数
f(x)=log2

1+x

1-x

是增函数
综上，函数的定义域为（-1，1），此函数是一个奇函数，也是一个增函数

点评：本题考点是对数函数图象与性质的应用，考察了对数函数定义域的求法，对数的运算性质，函数奇偶性的判断，复合函数单调性的判断规则，解题的关键是熟练掌握对数的性质、复合函数单调性的判断规则，本题考察了推理判断的能力