Question

（2012•广元三模）平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（1，2），B（-3，1）．若点P在线段AB上，且

OP

=m

OA

+n

OB

，则

1

m

+

9

n

有（　　）

A．最小值-16

B．最大值-16

C．最大值16

D．最小值16

Answer 1

分析：设P（x，y），由A（1，2），B（-3，1）可求得直线AB的方程为x-4y+7=0，再由点P在线段AB上，

OP

=m

OA

+n

OB

可求得m+n=1，代入

1

m

+

9

n

，利用基本不等式即可．

解答：解：设P（x，y），由A（1，2），B（-3，1）得直线AB的斜率k=

1

4

，由点斜式可得直线AB的方程为x-4y+7=0，
又点P在线段AB上，

OP

=m

OA

+n

OB

，
∴（x，y）=m（1，2）+n（-3，1），m＞0，n＞0
∴

m-3n=x 2m+n=y

，又x-4y+7=0，
∴（m-3n）-4（2m+n）+7=0，
∴m+n=1．又m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

9

n

=（

1

m

+

9

n

）（m+n）=10+

n

m

+

9m

n

≥10+6=16（当且仅当n=3m，即m=

1

4

，n=时取到“=”）．
故选D．

点评：本题考查基本不等式，考查平面向量的基本定理及其意义，正确理解题意，得到m+n=1是关键，属于中档题．