题目内容
已知函数
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（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）当p=2时判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．
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（Ⅰ）判断并证明函数的奇偶性；
（Ⅱ）当p=2时判断函数f（x）在（-1，0）上的单调性并加以证明．
分析：（Ⅰ）函数是奇函数，利用奇函数的定义，证明f（-x）=f（x）即可；
（Ⅱ）函数是单调递增函数，利用单调性的定义证明．当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x．设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，从而可得f(x1)-f(x2)=(
-
)+2(x1-x2)=（x1-x2）（x1+x2+2）＜0，问题可证．
（Ⅱ）函数是单调递增函数，利用单调性的定义证明．当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x．设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0，从而可得f(x1)-f(x2)=(
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
解答：（Ⅰ）解：定义域是R，函数是奇函数．
证明：∵
∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）解：是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(
-
)+2(x1-x2)=（x1-x2）（x1+x2+2）＜0
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
证明：∵
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∴函数f（x）是奇函数．
（Ⅱ）解：是单调递增函数．
证明：当x∈（-1，0）时，f（x）=x2+2x
设-1＜x1＜x2＜0，则x1-x2＜0，且x1+x2＞-2，即x1+x2+2＞0
∵f(x1)-f(x2)=(
| x | 2 1 |
| x | 2 2 |
∴f（x1）＜f（x2）
所以函数f（x）在（-1，0）上是单调递增函数．
点评：本题综合考查函数的奇偶性与单调性，考查奇偶性、单调性的定义，证明单调性的关键在于作差变形这一步．
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已知函数f(x)=
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