Question

已知函数f(x)=

1

2

x2+alnx（ a为常数、a∈R），g(x)=f(x)-

2

3

x3．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）当a=1时，判断函数g（x）的零点的个数，并说明理由．

Answer 1

（1）由f（x）=

1

2

x²+alnx，得f′（x）=x+

a

x

=

x2+a

x

，其中x＞0．
当a≥0时，f′（x）＞0对任意x∈（0，+∞）均成立，这是f（x）在区间（0，+∞）上单调递增；
当a＜0时，由f′（x）＞0?x＞

-a

或x＜-

-a

（舍）
由f′（x）＜0?0＜x＜

-a

，
∴f（x）在区间（

-a

，+∞）上单调递增，在区间（0，

-a

）上单调递减；

（2）a=1时，g（x）=f（x）-

2

3

x³=

1

2

x²+lnx-

2

3

x³，
g′（x）=x+

1

x

-2x²=

(1-x)(1+x+2x2)

x

，其中x＞0，
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，函数g（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，函数g（x）单调递减．
∴[g（x）]_min=g（1）=-

1

6

＜0，
∴函数g（x）零点的个数为0．