Question

设各项均为正数的数列{a_n}满足a₁=2,a_n= (n∈N^*).

(1)若a₂=,求a₃,a₄,并猜想a_{2 008}的值(不需证明);

(2)若≤a₁a₂…a_n＜4对n≥2恒成立,求a₂的值.

Answer 1

解:(1)因a₁=2,a₂=2^-2,故a₃==2⁴,a₄==2^-8.

由此有a₁=,a₂=,a₃=,a₄=,故猜想{a_n}的通项为a_n=(n∈N^*).从而

a_{2 008}=.

(2)令x_n=log₂a_n,则a₂=,故只需求x₂的值.

设S_n表示x_n的前n项和,则a₁a₂…a_n=.

由≤a₁a₂…a_n＜4得≤S_n=x₁+x₂+…+x_n＜2(n≥2).

因上式对n=2成立,可得≤x₁+x₂,又由a₁=2,得x₁=1,故x₂≥.

由于a₁=2,a_n=a_n+2(n∈N^*),得x_n=x_n+1+x_n+2(n∈N^*),即x_n+2+2x_n+1=(x_n+2+x_n+1)+ x_n+1=(x_n+1+2x_n),

因此数列{x_n+1+2x_n}是首项为x₂+2,公比为的等比数列,

故x _n+1+2x_n=(x₂+2)(n∈N^*).

将上式对n求和得S_n+1-x₁+2S_n=(x₂+2)(1++…+)=(x₂+2)(2-)(n≥2).

因S_n＜2,S_n+1＜2(n≥2)且x₁=1,故(x₂+2)(2)＜5(n≥2).因此2x₂-1＜(n≥2).

下证x₂≤.若不然,假设x₂＞,则由上式知,不等式2^n-1＜.对n≥2恒成立,但这是不可能的,因此x₂≤,又x₂≥,故x₂=.所以a₂==.