Question

已知函数f(x)=2cosωx(

3

sinωx+cosωx)（其中ω＞0），且函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π．
（1）先列表再作出函数f（x）在区间[-π，π]上的图象．
（2）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-c）cosB=bcosC，求函数f（A）的取值范围．
（3）若f(

x

2

)=2，求cos(

2π

3

-x)的值．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的正弦函数公式化简函数f（x）的解析式为 2sin（2ωx+

π

6

）+1，由周期求得ω的值，即可确定f（x）的解析式为 2sin（x+

π

6

）+1，列表作出它的图象．
（2）由f（x）的解析式，将x=A代入表示出f（A），由正弦定理化简已知的等式，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简后，得到cosB的值，求得B的值，进而
得到A+C的值，得出A的取值范围，根据正弦函数的图象与性质得出此时正弦函数的值域，进而确定出f（A）的取值范围．
（3）由 f（

x

2

0=2，求得sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，再利用二倍角公式、诱导公式求得 cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1 的值．

解答：解：（1）函数f(x)=2cosωx(

3

sinωx+cosωx)=

3

sin2ωx+cos2ωx+1=2sin（2ωx+

π

6

）+1，
∵函数f（x）的图象的相邻两条对称轴间的距离为π，∴

1

2

•

2π

2ω

=π，解得ω=

1

2

，∴f（x）=2sin（x+

π

6

）+1．
列表

x+ π 6	- 5π 6	- π 2	0	π 2	π	7π 6
x	-π	- 2π 3	- π 6	π 3	5π 6	π
f（x）	0	-1	1	3	1	0

如图所示：

（2）将（2a-c）cosB=bcosC利用正弦定理化简得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC，
整理得：2sinAcosB=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，
∵sinA≠0，∴cosB=

1

2

． 又B为三角形的内角，∴B=

π

3

．
∴A+C=

2π

3

，0＜A＜

2π

3

，

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，

1

2

＜sin（A+

π

6

）≤1，故函数f（A）=2sin（A+

π

6

）+1 的取值范围为（2，3]．
（3）∵f（

x

2

）=2sin（

x

2

+

π

6

）+1=2，∴sin（

x

2

+

π

6

）=

1

2

，
∴cos（

2π

3

-x）=2cos2(

π

3

-

x

2

)-1=2sin2(

π

6

+

x

2

)-1=2×

1

4

-1=-

1

2

．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、二倍角公式、正弦定理的应用，作函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象，属于中档题．