Question

设函数f(x)=

1

2

x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)，
（1）当a=2，-2≤x≤2时，求f（x）的值域；
（2）若f（x）在x∈（-1，2）上是单调函数，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2，-2≤x≤2时，f（x）=

1

2

x2+x+3=

1

2

(x+1)2+

5

2

，由此能求出f（x）的值域．
（2）f(x)=

1

2

x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)的对称轴方程是x=a²-2a-1，由f（x）在x∈（-1，2）上是单调函数，知a²-2a-1≥2或a²-2a-1≤-1，由此能求出实数a的范围．

解答：解：（1）当a=2，-2≤x≤2时，
f（x）=

1

2

x2+x+3=

1

2

(x+1)2+

5

2

，
∴当x=-1时，f(x)min=

5

2

，
当x=2时，f（x）_max=7，
∴当a=2，-2≤x≤2时，f（x）的值域是[

5

2

，7]．
（2）∵f(x)=

1

2

x2-(a2-2a-1)x+3(x∈R)的对称轴方程是x=a²-2a-1，
f（x）在x∈（-1，2）上是单调函数，
∴a²-2a-1≥2或a²-2a-1≤-1，
解得a≤-1，或0≤a≤2，或a≥3．
即实数a的范围是（-∞，-1]∪[0，2]∪[3，+∞）．

点评：本题考查函数的值域和实数a的取值范围，是基础题．解题时要认真审题，注意二次函数的性质和配方法的灵活运用．