Question

已知抛物线C：x²=2py（p＞0）上一点A（m，4）到其焦点的距离为

17

4

．
（I）求p与m的值；
（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t（t＞0），过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点M作抛物线的切线MN，N（非原点）为切点，以MN为直径作圆A，若圆A恰好经过点Q，求t的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y=-

p

2

，根据抛物线定义能求出p与m的值．
（Ⅱ）设直线lPQ：y-t2=k(x-t)，当y=0，x=

-t2+kt

k

，则M（

-t2+kt

k

，0），联立方程

y-t2=k(x-t) x2=y

，得：x²-kx+t（k-t）=0，由此入手能够求出t的最小值．

解答：（本题满分15分）
解：（Ⅰ）由抛物线方程得其准线方程：y=-

p

2

，根据抛物线定义
点A（m，4）到焦点的距离等于它到准线的距离，即4+

p

2

=

17

4

，解得p=

1

2

∴抛物线方程为：x²=y，将A（m，4）代入抛物线方程，解得m=±2…（4分）
（Ⅱ）由题意知，过点P（t，t²）的直线PQ斜率存在且不为0，设其为k．
则lPQ：y-t2=k(x-t)，
当y=0，x=

-t2+kt

k

，则M（

-t2+kt

k

，0），…（6分）
联立方程

y-t2=k(x-t) x2=y

，整理得：x²-kx+t（k-t）=0，
即：（x-t）[x-（k-t）]=0，解得x=t，或x=k-t，
∴Q（k-t，（k-t）²），…（8分）
而以MN为直径的圆A恰好经过点Q，
∴QN⊥QP，∴直线NQ斜率为-

1

k

，
∴lNQ：y-(k-t)2=-

1

k

[x-(k-t)]，…（10分）
联立方程

y-(k-t)2=- 1 k [x-(k-t)] x2=y

，
整理得：x2+

1

k

x-

1

k

(k-t)-(k-t)2=0，
即：kx²+x-（k-t）[k（k-t）+1]=0，
[kx+k（k-t）+1][x-（k-t）]=0，
解得：x=-

k(k-t)+1

k

，或x=k-t，
∴N（-

k(k-t)+1

k

，

[k(k-t)+1]2

k2

），…（12分）
∴kNM=

[k(k-t)+1]2 k2

k(k-t)+1 k - -t2+kt k

=

(k2-kt+1)2

k(t2-k2-1)

，
而抛物线在点N处切线斜率：k_切=y′|x=

k(k-t)+1

k

=

-2k(k-t)-2

k

，
∵MN是抛物线的切线，∴

(k2-kt+1)2

k(t2-k2-1)

=

-2k(k-t)-2

k

，…（14分）
整理得k²+tk+1-2t²=0，
∵△=t²-4（1-2t²）≥0，
解得t≤-

2

3

（舍去），或t≥

2

3

，
∴t_min=

2

3

．…（15分）

点评：本题考查抛物线的性质和应用，具体涉及到抛物线和直线的位置关系的应用，抛物线的简单性质，圆的简单性质，直线方程等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答，合理地进行等价转化．