Question

已知函数（a＞1）。
（1）求证：f(x)在(-1，+∞)上为增函数；
（2）若a=3，求方程f(x)=0的正根（精确度为0.1）。

Answer 1

（1）证明：任取x1，x2∈(-1，+∞)，且，则且， ∴， 又∵， ∴， 于是， 故函数f(x)在(-1，+∞)上为增函数。 （2）解：由(1)知，当a=3时，也在(-1，+∞)上为增函数， 故在(0，+∞)上也单调递增，因此f(x)=0的正根仅有一个， 以下用二分法求这一正根，由于f(0)=-1＜0，f(1)=＞0， ∴取(0，1)为初始区间，用二分法逐次计算，列出下表： 区间 中点 中点函数值 （0，1） 0.5 0.732 （0，0.5） 0.25 -0.084 （0.25，0.5） 0.375 0.322 （0.25，0.375） 0.312 5 0.124 由于|0.312 5-0.25|=0.062 5＜0.1， ∴原方程的近似解可取为0.312 5。