Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证q=-1是数列{a_n}成等比数列的充要条件．

Answer 1

证明：当n=1时，a₁=S₁=p+q；
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1．
由于p≠0，p≠1，
∴当n≥2时，{a_n}是等比数列．要使{a_n}（n∈N^*）是等比数列，
则=p，即（p-1）•p=p（p+q），
∴q=-1，即{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1．
再证充分性：
当p≠0且p≠1且q=-1时，S_n=pⁿ-1，
a_n=（p-1）•p^n-1，=p（n≥2），
∴{a_n}是等比数列．
分析：先求出a₁的值，再由n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（p-1）•p^n-1进而可判定n≥2时，{a_n}是等比数列，最后再验证当n=1时q=-1时可满足，{a_n}是等比数列，从而{a_n}是等比数列的必要条件是p≠0且p≠1且q=-1；当p≠0且p≠1且q=-1时，根据S_n=pⁿ-1可求出a_n=（p-1）•p^n-1，进而得到=p即{a_n}是等比数列，即可知q=-1是{a_n}是等比数列的充分条件．
点评：本题主要考查等比数列的充要条件，考查基础知识的综合运用．