Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，下列命题：
①

AB

•

BC

＞0，则△ABC为钝角三角形．
②若b=

2

csinB，则C=45°．
③若a²=b²+c²-bc，则A=60°．
④若已知E为△ABC的边BC的中点，△ABC所在平面内有一点P，满足

PA

+

PB

+

PC

=0，设

| AP |

| PE |

=λ，则λ=2，其中正确命题的个数是（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：利用向量的数量积公式及向量夹角与三角形内角的关系，判断出①的对错；
利用正弦定理判断出②的对错；
利用余弦定理判断出③的对错；
利用三角形重心满足的向量关系及重心的度量关系判断出④的对错．

解答：解：对于①，∵

AB

•

BC

＞0所以两个向量的夹角为锐角，又两个向量的夹角为三角形的内角B的补角，所以B为钝角，所以△ABC为钝角三角形，故①对
对于②，由正弦定理得sinB=

2

sinCsinB，所以sinC=

2

2

，所以C=45°或135°，故②错
对于③，由三角形中的余弦定理，得b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc即cosA=

1

2

则A=60°，故③对
对于④，∵

PA

+

PB

+

PC

=0∴P为三角形的重心，所以

| AP |

| PE |

=2，∴λ=2，故④对．
故选C

点评：在三角形中，当条件中出现边的平方关系或角的余弦形式时常利用余弦定理解决；当条件中出现正弦形式时常考虑正弦定理解决；三角形的重心满足的向量关系：以重心为始点，三角形的三顶点为终点对应的三向量和为零向量．